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一个关于数学归纳法的悖论问题-续

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上篇文章讲到一个悖论,这里解开悖论的什么面纱

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「游客没有输入任何新的信息」这个断言是错的。
N=1的情形不必说了,显然输入了新信息。

对于N>1的情形,要注意,游客必须是当着所有人的面公开做出宣告,如果他是私下分别对每个人说的,就不会起任何作用。「公开宣告」这一举动的意义不是让每个人都知道「岛上有红眼睛」,而是让每个人都知道「每个人都知道每个人都知道……每个人都知道岛上有红眼睛」。在游客公开宣告之前,岛上的人是不可能具有这个多阶知识的,这就是游客输入的新信息。

以N=2为例,公开宣告之后,红1立刻获得了一个新的2阶知识:「红2知道岛上有红眼睛」,在公开宣告之前,他没有能力判断这个2阶命题的真假,因为在这之前命题的真假依赖于红1自己的眼睛颜色。同样,红2也获得了新知识「红1知道岛上有红眼睛」。

N=3时,公开宣告使得红1立刻获得了一个新的3阶知识:「红2知道红3知道岛上有红眼睛」,在此之前,这个3阶命题的真假也是依赖于红1自己的眼睛颜色(红则为真,蓝则为假)。同样,红2和红3也获得了类似的知识。

N=4,5,6,...依此类推。

简单说,「岛上有红眼睛」这件事本来只是一项「共有知识」(Mutual knowledge),公开宣告使它变成了一项「公共知识」(Common knowledge)。这两种知识的区分在认知逻辑里面非常重要,在博弈论中有广泛的应用。

用不严谨的话粗略介绍一下这两个概念:对于一个给定的命题P和一群给定的人,共有知识只需要满足一个条件:这群人中所有人都知道P,那么P就是这群人的共有知识。
公共知识则需要满足以下所有条件:
这群人中
1、所有人都知道P;
2、所有人都知道所有人都知道P;
3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P;
4、所有人都知道所有人都知道所有人都知道所有人都知道P;
5、……
一直下去,直到无穷。要同时满足这无穷多个条件,才能说P是这群人的公共知识。

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看到有些人还是不明白为什么公开宣告之前没有人自杀,为什么宣告之后就会自杀了,以及为什么要等到第N天才自杀。以下就用N=4为例来分析一下,希望能有助于理解(但也有可能让人绕得更晕)。
设4个红眼岛民分别为A, B, C, D,以下是A心中做出的推理:

我看到3个红眼,这可以划分成一共5种情况:
1、我是红的;
2、我是蓝的,且B自认为是红的;
3、我是蓝的,且B自认为是蓝的,且B认为C自认为是红的;
4、我是蓝的,且B自认为是蓝的,且B认为C自认为是蓝的,且B认为C认为D自认为是红的;
5、我是蓝的,且B自认为是蓝的,且B认为C自认为是蓝的,且B认为C认为D自认为是蓝的。

假如没有游客来公开宣告「岛上有红眼」,那么A永远无法判断上述哪一种是真的。由于岛上所有人都做出同样的推理(蓝眼岛民推出的情形多一种),所以每个人都无法判断自己眼睛的颜色,大家都不用去死。
而一旦公开宣告「岛上有红眼」,A立刻知道「B知道C知道D知道岛上有红眼」,因此可以立刻排除5;当晚没人死,因此第二天可排除4;第三天排除3;第四天排除2只剩下1,因此A在第四天晚上自杀。B, C, D也都做出完全一样的推理,所以也都在第四天晚上自杀。

====补充====
有人提到,这道题的一个必要前提是岛上的人要完全信任这个游客。这很对,但还不够。不仅每个人都要相信该游客,而且还必须每个人都知道每个人都知道……每个人都知道每个人都相信该游客。即「游客完全可信」这件事本身也必须是一个公共知识。只有这样,游客的宣告才会具备使共有知识转变为公共知识的力量。

====补充2====
从小到大,我们一次又一次地被旁人这样教训:「嘘,别说了,小心点。况且这种事谁不知道啊,还要你说?说出来又有什么用呢?你有力量改变它吗?」久而久之,我们越来越习惯于把「你懂的……」挂在嘴边,习惯于对房间里的大象视而不见,选择性遗忘了一个我们其实早就知道的重要事实:「大声说出来」跟「彼此心照不宣」有着决定性的区别。我们不是没有力量。一条恰当的宣言,哪怕它的内容只不过是「我知道」这么简简单单的一句话,也有可能引起整个社会的信念结构的根本改变,让许许多多人断然行动起来。这就是我们每一个人的力量。

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